くいずこたえ

問、次の文の意味が矛盾しない様に（　）内を整数で埋めなさい。

この文には0が（　）個、1が（　）個、2が（　）個、3が（　）個、4が（　）個、
5が（　）個、6が（　）個、7が（　）個、8が（　）個、9が（　）個、ふくまれている。

a．　0-1個　1-7個　2-3個　3-2個　4-1個　5-1個　6-1個　7-2個　8-1個　9-1個
b．　0-1個　1-11個　2-2個　3-1個　4-1個　5-1個　6-1個　7-1個　8-1個　9-1個

答えが2種類もあって、なかなかイヤラシイなあ。
解説はしません。偶然見つけたんで。1の個数がポイントかな？

まずは、[A] ●●●　[B] ●●●　[C] ●●●　と分ける。
[B] と [C] を秤にのせる。（1回目）
これが釣り合えば、重い玉は [A] にある。不釣り合いなら、下がった方のグループに重い玉がある。

次に、重い玉があるグループを [X] ●　[Y] ●　[Z] ●　と分ける。
[Y] と [Z] を秤にのせる。（2回目）
これが釣り合えば、重い玉は [X]。不釣り合いなら、下がった方が重い玉と結論できる。

相対的な重さが分かっているので、3つに分けて内2つを比較すればおおよそ特定できるってことに気付けばおしまい。
9＝3×3なので、2回比較すれば完全に決定できるって寸法。楽勝でしょ？

まず、3つのグループ [A] ●●●●　[B] ●●●●　[C] ●●●●　に分ける。
[A] と [B] を秤にのせる。（1回目）

[A]、[B] は普通の玉、[C] の中に重さの違う玉があると分かる。
[C] を2分して、[C] ●●●　[C'] ●　とする。
[A＋B] から3つと [C] を秤にのせる。（2回目）
これが釣り合えば [C'] に、不釣り合いなら [C] に重さの違う玉がある。

釣り合った場合。重さを特定するだけでよいから、普通の玉と比較すればよい。
[A＋B＋C] から1つと [C'] を秤にのせる。（3-1回目）
[C'] が上がれば軽く、下がれば重いと判明する。

不釣り合いの場合。[C] が上がっていれば軽い玉、下がっていれば重い玉がある。（★）
重さが既知になったから [C] を3分すればよい。[X] ●　[Y] ●　[Z] ●　と分ける。
[Y] と [Z] を秤にのせる。（3-2回目）
これが釣り合っていれば、答えは [X]。重さは★で判断できる。
不釣り合いならば、★と同じ振るまいをする方の玉が求める答えとなる。

この場合、[A] か [B] に重さの違う玉があり、[C] は普通の玉である。
今、下に傾いた方のグループを [B] と考えても差し支えない。
従って、重さの違う玉が [A] にあればそれは軽く、[B] にあれば重いことが結論される。
では、玉の特定をしよう。次のようにグループを構成し直す。
　　　[X] ●●●○　　… [C]×3＋[B]×1
　　　[Y] ●●●○　　… [B]×3＋[A]×1
　　　[Z] ●●●○　　… [A]×3
[X] と [Y] を秤にのせる。（2回目）

釣り合った場合。[Z] の中に軽い玉がある。[Zx] ●　[Zy] ●　[Zz] ●　と分ける。
[Zy] と [Zz] を秤にのせる。（3-1回目）
これが釣り合えば、[Zx] が答え。釣り合わなければ、上がった方が答えである。

不釣り合いの場合。次の2つの可能性がある：[X] が下がる　[Y] が下がる

[X] が下がった場合。
このとき、[X] の○が重いか、[Y] の○が軽いかの一方のみ成り立つ。[Z] は普通の玉である。
[Y] の○と [Z] の1つを秤にのせる。（3-2回目）
これが釣り合えば、[X] の○が重く、釣り合わなければ [Y] の○が軽い。

[Y] が下がった場合。
このとき、[X] と [Y] の構成から考えて、重さの違う玉は [Y] にある。
つまり、[Y] の●×3の中に重い玉があることが分かる。これを [Yx] ●　[Yy] ●　[Yz] ●　と分ける。
[Yy] と [Yz] を秤にのせる。（3-3回目）
これが釣り合えば、[Yx] が答え。不釣り合いならば、下がった方が答え。

問題02の応用問題。重さも未知なる天秤の問題。
重さが違う可能性のある玉を3つ以下に絞る工夫が試されていると思う。
ポイントは、12＝4×3、4＝3＋1か。
3つ以下になれば、あと1回で特定できる訳だから、2回目をどうするかが重要。
普通の玉と混合させて、3＋1を作るのがミソだと思う。
解答、分かりやすいかしら？

はじめに1という数がある。
次の数は
　　１：前の数に2をかけてから1をたす
　　２：前の数に1をたしてから2をかける
のどちらかを自由に選んで作る。このとき
（1）100を作ることができるか。
（2）1000を作ることができるか。
（3）10のn乗（nは自然数）はどんな時に作る事が出来るか？

自然数mに対して、操作１で 2m＋1、操作２で 2m＋2 が作れる。
この逆の操作を考える。具体的に与えられた自然数Mに対して、
　　Mが奇数のとき、操作１'：Mから1を引いて2で割る
　　Mが偶数のとき、操作２'：Mから2を引いて2で割る
これにより、Mの1つ前の数字が得られる。
操作１と操作２の逆の操作によって数字を小さくしていけば、いずれ「1」か「2」に行き着く。
もし、Mから「2」が得られたなら、Mは操作１と操作２で「1」から作ることができない。

100 → 49 → 24 → 11 → 5 → 2
1000 → 499 → 249 → 124 → 61 → 30 → 14 → 6 → 2
だから、「1」からは作れない。

（3）はnの特徴づけを問うている。
特徴が仮にあったとしても、分かりやすい形には書けない。まあ、特別に注目すべき特徴はないだろう。

少し、補足。
与えられた自然数mを2進展開する。そのとき、m＋1＝10*****_[2] となれば「1」からmが作れる。
逆に、「1」から作れる数字mは、2進展開したとき m＋1＝10*****_[2] となる。
このことから

　　66…6（6がn個並ぶ）＜m＜10^n を満たすm＝2^kが存在すれば、10^nは「1」から作れる

ことが分かる。これなら、電卓でも2のベキを計算させるだけで簡単に判定できる。
ちなみに、10^nが「1」から作れるようなnの割合はlog(3/2)÷log2＝約58.5％。